В американском варианте английского языка вместо глагола "got" ("get" в форме причастия II) может употребляться слово "gotten":

• He has got(ten) a new car every year since he learned to drive. – Каждый год он получает новую машину с тех пор, как научился водить.
• I had never heard of overclocking RAM then, so I had got(ten) interested in it. – Тогда я никогда прежде не слышал о разгоне оперативной памяти, так что меня это заинтересовало.

Но, "have gotten" никогда не употребляется аналогично британскому неформальному обороту "have got" в значении обладания, но только как перфектная форма глагола "get" в значении: получать, приобретать:

• выражение обладания:
  • I have a sister. (амер., брит.) = I have got a sister. (неформальный брит.) – У меня есть сестра.
  • Но: I have gotten a sister. – амер. только в значении «У меня появилась сестрёнка.»
• выражение получения, приобретения:
  • I've gotten a new friend. (амер.) = I've got a new friend. (брит.) – Я нашёл нового друга.
  • We haven't gotten it. (амер.) = We haven't got it. (брит.) – У нас этого нет (но обычно есть).
  • By the end of the day you will have gotten the money. (амер.) = By the end of the day you will have got the money. (брит.) – Вы получите деньги до окончания дня.

Обратите внимание на различие в значениях для глаголов "got" и "gotten" в следующих предложениях:

1. I've gotten to do it. (амер.) – (Теперь) я могу сделать это. / Мне позволено сделать это. / Я получил возможность сделать это. (аналогично "I get to do it.")
2. Но. I've got to do it. (неформальный брит.) – Я должен сделать это. / Мне нужно сделать это. (аналогично "I have to do it.")

В первом предложении, "have gotten" — это "get" в форме причастия, употребляемое в значении "to get to do something" (иметь возможность сделать что-то). Во втором предложении, идиоматическое "have got" употребляется вместо "have" как модальный глагол.